Linear interpolieren in einer Dimension
Wir starten mit $N$ Stützstellen $x_i$ wobei jeder ein Wert $F_i$ zugeordnet ist und alle $x_i$ paarweise verschieden sind. Es ist $0\leq i < N$. Dies entspricht anschaulich einer Situation wie in der einleitenden Abbildung (rechts nochmals gezeigt) angedeutet.
Für jedes der $N-1$ Intervalle $x_i$ bis $x_{i+1}$ wollen wir nun eine lineare Funktion $f_j(x)$ erzeugen ($ 0 \leq j < N – 1$). Picken wir also ein beliebiges Intervall davon heraus und sehen wir uns an, was wir tun müssen.
Wir sind nun auf der Suche nach einer linearen Funktion $f_j(x)$ welche an den Stützstellen gleich dem Funktionswert ist. Die Gesuchte Funktion muss also folgende mathematische Form haben
\[ f_j(x) = a_0 + a_1 x\]
und die Bedingungen an den Stützstellen erfüllen:
\[ f_j(x_i) = F_i \quad \text{und} \quad f_j(x_{i+1}) = F_{i+1} \]
Zwei Gleichungen – zwei Unbekannte – wunderbar.
\[ a_0 + a_1 x_i = F_ i \]
\[ a_0 + a_1 x_{i+1} = F_{i+1} \]
Umformen und auflösen führt auf
\[ a_1 = \frac{F_{i+1}-F_i}{x_{i+1}-x_i} \]
\[ a_0 = F_i – \frac{F_{i+1}-F_i}{x_{i+1}-x_i} x_i \]
Damit haben wir alles notwendige bestimmt und können das Verbindungsstück plotten! Darüber, dass $x_{i+1}-x_i=0$ sein könnte brauchen wir uns übrigens keine Gedanken machen. Wir hatten eingangs gefordert, dass alle Stützstellen paarweise verschieden sind. Abgesehen davon gäbe es für $x_{i+1}=x_i$ entweder nichts zu interpolieren oder man hätte ein Eindeutigkeitsproblem wenn in diesem Fall $F_{i+1} \neq F_i$.
Führen wir dies für alle Intervalle durch können wir so stückweise auf dem gesamten Bereich interpolieren. Die gesamte Interpolationsfunktion $f_\text{linear}(x)$setzt sich hierbei aus den Teilfunktionen $f_j$ in den jeweiligen Intervallen zusammen.
Wie sich dieses Verfahren nun auf weitere Dimensionen verallgemeinern lässt, damit gehts auf der nächsten Seite weiter!
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