Filmphysik ernstgenommen – Luke Skywalker und das Tauntaun

Filmphysik ernstgenommen

Üblicherweise werden ja Filme aufgrund ihrer Filmphysik, das heißt der recht freien Auslegung bzw. Ignorierung von Naturgesetzen kritisiert. Ich möchte hier mal den umgekehrten Weg gehen. In dieser Artikelserie nehmen wir was im Film passiert ernst, und sehen uns an was das für Konsequenzen hat wenn die üblichen Naturgesetze gelten.

Dieser Artikel steht also im Kontrast zu jenem. In diesem wird erklärt weshalb Luke Skywalker mit ziemlicher Sicherheit an Hypothermie versterben wird – und das obwohl Han Solo ihn im Inneren des verstorbenen Tauntauns verstaut. Dabei trifft der Artikel aber einige fehlerhafte Annahmen – zum Beispiel wird die Masse des Tauntauns nicht mitberücksichtigt. Oder diesem wo stark vereinfacht abgeschätzt wird, wie lange es dauert bis das Tauntaun auskühlt. Auch die Mythbusters haben sich bereits damit befasst, allerdings mit nicht ganz so klirrend kalten Temperaturen und ohne Wind.

Wir gehen hier also – weil ich es ewig schon selber nachrechnen wollte und es ein sehr interessantes Beispiel ist – folgender Frage nach:

Welche Eigenschaften muss das Tauntaun haben damit Luke die Zeit übersteht die Han benötigt um das Notquartier bereit zu machen?

Was im Film passiert

Für alle die die Szene nicht kennen – hier eine kurze Zusammenfassung: Ein verletzter Luke Skywalker ist verschollen am Eisplaneten Hoth. Die Nacht kommt immer näher und die Temperaturen fallen stark. Leia, Han, C3PO und R2D2 sind nervös weil der Protagonist noch nicht zurückgekehrt ist, und Han Solo beschließt ihn zu suchen. Er findet ihn auch, allerdings ziemlich erledigt. Das Tauntaun – das Reittier auf dem Han unterwegs ist – kollabiert nun aus unbekannten Gründen. Eine Rückkehr zur Basis noch vor Einbruch der Nacht ist damit nicht mehr möglich. Han schneidet also kurzerhand den Bauch des Tauntauns auf und stopft den erledigten Luke Skywalker hinein um ihn vorm Kältetod zu bewahren während er ein Notquartier errichtet. Ok das mit dem hineinstopfen sieht man im Film nicht, es passiert aber laut Skript!

Die nötige Physik

In den beiden Boxen unterhalb gehts es nun um die physikalischen Grundlagen – ein paar Begriffe (zum Beispiel auch die Wärmekapazität) werden dort kurz erklärt.

[expand title=“Etwas Physik – Wärme und Temperatur“]

Physik – Wärme und Temperatur

Was bedeutet es, wenn wir sagen ein Körper hat eine gewisse Temperatur $T$? Physikalisch gesehen ist die innere Energie $Q$ eines Körpers dafür ausschlaggebend. In diesem Zusammenhang ist dann oft auch von Wärme oder Wärmeenergie die Rede. Ist etwas kalt so ist einfach weniger Energie bzw. Wärme vorhanden als bei einem wärmeren, gleich beschaffenem Vergleichsobjekt.

Objekte können also erwärmt werden, indem ihnen Energie zugeführt wird. Um einen Liter Wasser (=$1$ kg Wasser) zu erwärmen, kann man zum Beispiel einen Wasserkocher verwenden. Wie viel Energie nun benötigt wird um dieses Kilogramm um ein Kelvin (= 1°C) zu erwärmen gibt ein Materialparameter an. Die spezifische Wärmekapazität $c_V$. Für Wasser bedeutet dies, dass $4 182$ Joule notwendig sind um unseren Liter von 20°C auf 21°C zu erwärmen. $4 182$ Joule – das entspricht der Energie, die notwendig ist um $100$ kg vom Erdgeschoß in den ersten Stock zu heben (wenn ein Stockwerk ca. $4.3$ m hoch ist). Gar nicht so wenig also!

Was hier nun wichtig ist – wir haben eine Methode um zu berechnen wie viel Energie notwendig ist um die Temperatur eines Objekts oder Körpers um eine gewissen Wert zu ändern!
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[expand title=“Rechenbeispiel – Wärme und Temperatur“]

Rechenbeispiel – Wärme und Temperatur

Wir wollen $1$ kg Wasser von $20$ °C auf $100$ °C erwärmen. Zur Verfügung haben wir einen Wasserkocher der mit $P = 2500$ W Leistung betrieben werden kann. Wie lange muss man warten bis man sich Tee machen kann?

Überlegen wir zunächst kurz was $2500$ W Leistung bedeuten – das W steht hierbei für Watt und ist eigentlich nur eine verkürzte Schreibweise für Energie (Joule) pro Sekunde, also J/s. Mit obigem Wasserkocher könnten wir also den Liter Wasser in ca. $1.7$ s um 1°C erhitzen.

Wir wollen ihn allerdings um $\Delta T=80$ °C aufwärmen! Die spezifische Wärmekapazität kennen wir bereits, sie ist für $20$ °C warmes Wasser $c_V=4182$ J/kgK. Nehmen wir an, dass sich diese bis $100$ °C nicht ändert. Das ist zwar vereinfachend, kann jedoch solange der Siedepunkt nicht früher erreicht wird erstmal angenommen werden.

Die Wärmeenergie die zugeführt werden muss ist

\[ \Delta Q = c_V \cdot m\cdot \Delta T \]

Da $m=1$ kg ist $\Delta Q=334560J$. Nun ist nur mehr ein letzter Schritt notwendig. Wir kennen die Energie die aufgebracht werden muss, und wir kennen die Rate mit der Energie pro Sekunde zugeführt wird – die Leistung des Wasserkochers. Also bleibt nur mehr eine Divison auszuführen:

\[ t = \frac{\Delta Q}{P} = 134\; \text{s} \approx 2.2\; \text{Minuten}\]

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Wissen und Annahmen die wir treffen

Allgemeines

Natürlich muss man immer irgendwelche Annahmen treffen – wir gehen zum Beispiel davon aus, dass es sich bei Luke und Han um Menschen handelt – oder zumindest um Lebewesen die uns Menschen in den relevanten Belangen ähnlich sind. Wir kennen (unter dieser Annahme) die Körpertemperaturen der beteiligten Charaktere. Im Fall von Luke nehmen wir 37°C an – gehen also vorerst davon aus, dass er noch nicht unterkühlt ist sondern nur erschöpft.

Der Planet Hoth

Was wissen wir über die Umweltbedingungen? Die mittlere Temperatur auf Hoth in Äquatornähe sollte bei Nacht bei ca. $T_A =-60\;^o\text{C}$ liegen.

Die Windgeschwindigkeit ist für die Abkühlung auch noch ein wichtiger Faktor. Wir können nur versuchen sie aus dem Film abzuschätzen oder aber einen typischen Wert einer vergleichbaren Eiswüste heranziehen. Auf dieser Seite wird die mittlere Windgeschwindigkeit in der Antarktis mit $20\;\text{km/h}$ angegeben. Da es im Film doch etwas stürmischer aussieht verdoppeln wir diesen Wert und verwenden  $74\;\text{km/h}$ bzw. $v_W\approx 20\;\text{m/s}$. Damit liegen wir immer noch deutlich unter der maximal in Böen gemessenem Geschwindigkeit von $248.4\;\text{km/h}$.

Luke

Machen wir weiter mit Überlegungen zu Luke. Erstmal müssen wir wissen, wieviel Wärme ein Mensch pro Gewicht und Temperatur speichern kann. Die gesuchte Größe nennt sich spezifische Wärmekapazität und zum unserem Glück gibt es Untersuchungen dazu wie groß diese für Menschen etwa ausfällt (Takata 1977, Giering 1995). Ist der Anteil von Wasser $W$ am Körpergewicht bekannt, ist die spezifische Wärmekapazität durch

\[ c(W) = 4190(0.37+0.63W)\]

gegeben. Aber wie kommen wir auf $W$?

In einem Paper (Watson 1980) habe ich schließlich noch herausgefunden, wie wir $W_\text{Luke}$ für Luke abschätzen können. Es liefert uns eine Funktion welche aus dem Alter $a$ in Jahren, Größe $h$ in Metern und Gesamtgewicht $m$ in kg den Wassergehalt berechnet. Dabei wurden damals schlicht viele Männer und Frauen vermessen und abhängig vom Geschlecht die Funktion ausgewählt, welche die Messwerte anhand der vorliegenden Parameter am besten beschreibt. Das ist zwar keine physikalische Erklärung aber für unsere Zwecke ausreichend.

[expand title=“Die Wassergehaltsfunktion“]

\[ W_\text{Luke}(a,h,m) = \frac{1}{m} \left( 2.447 – 0.09516a + 10.74h + 0.336m \right) \]

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Bleibt noch zu klären, wo wir Lukes Maße herbekommen. Zum Glück gibt es auch recht ausführliche Nachschlagwerke dafür. Also ist $m=77\;\text{kg}$, $h=1.72\;m$ und auch das Alter in irdischen Jahren zum Zeitpunkt der Stationierung auf Hoth mit $a\approx 22\;\text{J}$ erhalten wir nach kurzem Studium des Kalendersystems. Wir erhalten

\[ W_\text{Luke} =0.58 \]

\[ c_\text{Luke} = 3083 \;\text{J/kgK} \]

So weit so gut. Der Wert für $c_\text{Luke}$ ist übrigens ein Mittelwert über die Wärmekapazitäten aller Organe, Knochen und Körperflüssigkeiten und was sich sonst noch so in einem menschlichen Körper befindet. Der Wert scheint plausibel denn er ist kleiner als jener für Wasser (ca. $4182\;\text{J/kgK}$). Das würde man auch erwarten da ja in einem Körper auch noch andere Teile als Wasser sind – wie zum Beispiel Knochen – und diese weisen geringere Wärmekapazitäten auf.

Geht man davon aus, dass Luke zum Zeitpunkt als Han ihn findet noch nicht unterkühlt ist, so können wir seine Körpertemperatur mit $37\;^o\text{C}$ annehmen. Bei bereits leichter Unterkühlung wäre eine passendere Körpertemperatur bei $35\;^o\text{C}$. Moderate Hypothermie setzt ein bei $32\;^o\text{C}$, schwere – und vermutlich tödliche – bei $28\;^o\text{C}$.

Das Tauntaun

Machen wir nun weiter mit dem Tauntaun und zwar mit folgender Vereinfachung: Wir nehmen an, dass es ähnliche thermophysikalische Eigenschaften (also zum Beispiel die Wärmekapazität) hat wie Luke. Das ist nicht ganz abwegig, sofern die Gewebearten ähnlich sind.

Weiters nehmen wir an, dass es eine isolierende äußere Schicht der Dicke $d$ hat. Im Film ist ersichtlich, dass das Tier zumindest eine Fellschicht besitzt. Da es sich bei dem Tauntaun ja um ein Lebewesen handelt vermuten wir nun, dass sich unter dem Fell eine Fettschicht befindet. Körperfett hat in etwa eine Wärmeleitfähigkeit von $\lambda=0.38\;\text{W/mK}$. Je größer dieser Wert wäre desto schlechter isolierend die Schicht.

Darunter befinden sich schließlich die Muskeln und Innereien des Tauntauns, und auch Luke Skywalker. Alle Wärme die diese Teile in Summe besitzen muss durch diese Isolationsschicht durch.

Jetzt müssen wir noch das Gewicht des Tauntauns kennen. Im Film wirkt es von der Größe her in Relation zu Han Solo in etwa vergleichbar mit einem Pferd. Die mittlere Masse eines größeren Reitpferdes beträgt ca. 550kg. Wir verwenden also für eine erste Näherung $m_\text{Tauntaun}=550\;\text{kg}$, wobei mancherorts mit einer Masse von über $1300\;\text{kg}$ spekuliert wird. Wir vernachlässigen mit dem angenommenen Gewicht vermutlich den Schwanz den die Tauntauns verwenden um die Balance zu halten, allerdings hat dieser auch keinen so großen Einfluss auf den Abkühlprozess da sein Gewicht (vermutlich) viel geringer ist als das des restlichen Körpers.

Später wird es auch relevant zu wissen, wie groß die Oberfläche ist, welche das Tauntaun seiner Umwelt zuwendet. Zu diesem Zweck stellen wir uns das Tauntaun jetzt als halben auf dem Boden liegenden Zylinder vor (Turnpenny 2000). Als Radius nehmen wir $0.7\;\text{m}$ an und als Länge $1.5\;\text{m}$. Das ergibt eine Oberfläche von knapp $A=4.8\;\text{m}^2$.

Das Notquartier

Viel wurde schon darüber diskutiert, welche Art Quartier Han errichtet hat. Manche vermuten, dass er ein Zelt welches er an Bord des Millenium Falcons hat mitgebracht hat. Andere tendieren eher zu der Hypothese, dass er mit futuristischem Werkzeug ein Iglo gebaut hat. Ein Zelt (vor allem im Star Wars Universum) ließe sich wahrscheinlich innerhalb von wenigen Minuten errichten. Wie sieht es mit dem Bau eines Iglos aus?

Da ich selbst keine Erfahrung mit dem Iglobau habe muss ich Angaben von Leuten heranziehen, die das öfter machen. Laut dieser Seite kann der Bau eines Iglos – abhängig von der eigenen Erfahrung und wie extravagant es werden soll – zwischen 3 und 6 Stunden dauern. Wenn wir jetzt annehmen, dass Han fortschrittliches Werkzeug hat (also einen Laserschneider oder ähnliches), dann kann er diese Zeit vielleicht auf 1 bis 2 Stunden verkürzen. So lange muss Luke also durchhalten.

Jetzt haben wir alle Daten beinander die wir brauchen.

Physik – wie etwas abkühlt

Das Newton’sche Abkühlungsgesetz

Sehr oft wird bei der Behandlung dieses Problems an dieser Stelle nun das Newton’sche Abkühlungsgesetz herangezogen um die Änderung der Temperatur zu beschreiben. Es besagt nichts anderes als das die Abkühlungsrate direkt von der Temperaturdifferenz des Körpers zu seiner Umgebung abhängt. Für den von uns betrachteten Fall ist diese Differenz zu Beginn $97K$. Im folgenden ausklappbaren Absatz ist das Abkühlungsgesetz ausgeschrieben und die weiteren Größen die einen Einfluss haben werden erklärt.

[expand title=“Das Newton’sche Abkühlungsgesetz“]

\[ \frac{c m}{A} \frac{dT}{dt} = U (T(t)-TA )\]

Was ich vorher Abkühlungsrate genannt habe ist die Ableitung $dT/dt$. Diese sagt uns wieviel Kelvin pro Sekunde das Luketauntaun zu einem bestimmten Zeitpunkt auskühlt. Der Faktor $U$ ist der sogenannte U-Wert, zumeist ist hier schlicht von einem Wärmeübergangskoeffizienten die Rede. Im Hinblick auf später verwenden wir aber bereits jetzt diese Bezeichnung. Grob gesagt verrät uns der U-Wert, wie viel Wärme pro Sekunde, Fläche und Kelvin verloren geht. Klar, je mehr Fläche etwas zu seiner Umgebung hat, desto mehr Möglichkeit gibt es dort Wärme abzugeben. Und je höher die Temperatur im Vergleich zur Umgebung ist, desto größer der Wärmeverlust.

Wir stellen außerdem noch fest, dass sich die Temperatur um so langsamer ändert je größer die Wärmekapazität des Systems ist – diese ist das Produkt $c\;m$. Anschaulich kennt man das Phänomen vielleicht daher: Nimmt man auf ein Festival eine Isolationsbox aus zB. Styropor mit und gibt zuhause noch kalte Getränke hinein werden diese um so länger kalt bleiben um so mehr man davon hineinpackt. Je mehr Getränke desto größer ist die Masse $m$ und um so größer ist das Produkt $c\;m$.

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Arten wie Wärme auf und abgegeben werden kann

Nun könnte jemand beanstanden: „Aber was ist mit Abkühlung durch Wärmestrahlung?“ Und hätte vollkommen recht mit diesem Einwand – denn das Netwon’sche Abkühlungsgesetz berücksichtigt diese nicht mit. Körper ändern ihre Temperatur nicht nur weil sie in Kontakt mit einem anderen Körper unterschiedlicher Temperatur (Wärmeleitung) oder einem Fluid wie  Luft oder Wasser (Konvektion) sind. Sie geben auch Energie in Form von elektromagnetischer Strahlung (Licht) ab. Dieses Prinzip machen sich unter anderem Infrarotkameras zunutze.

Kurz gefasst lässt sich die Abkühlung durch Wärmestrahlung mit dem Stefan-Boltzmann Gesetz beschreiben. Genauer gesagt durch die Differenz zwischen dem, was das Tauntaun abstrahlt und dem was aus der Umgebung abgestrahlt wird und wieder beim Tauntaun eintrifft.

[expand title=“Stefan-Boltzmann Gesetz“]

\[ P = \epsilon \sigma T_O^4 \]

Dabei steht $\epsilon$ für den Emissionskoeffizienten und $\sigma$ für die Stefan Boltzmann Konstante. Es sagt uns, welche Strahlungsleistung pro Quadratmeter von einem Körper mit Oberflächentemperatur $T_O$ abgegeben wird.

Die tatsächlich verlorene Wärme ergibt sich schließlich aus der Differenz von an die Umgebung abgegebener Strahlung und von der Umgebung aufgenommener Strahlung.

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Zu unserem Pech hängt der Wärmeverlust durch Strahlung von der Differenz $T_O^4-T_A^4$ ab. Aber wir haben auch Glück! Wegen der hohen Windgeschwindigkeiten auf Hoth ist der Wärmeverlust durch Konvektion in dem Temperaturbereich der uns interessiert fast 10 mal so groß wie der durch Strahlung! Das heißt, wir können Wärmestrahlung in guter Näherung für unsere Überlegungen vernachlässigen. Ein ähnliches Argument lässt sich auch für die Wärmeleitung in den Boden vorbringen.

Das ist jedenfalls erfreulich, so bleiben wir also beim vergleichsweise einfach zu handhabenden Newton’schen Abkühlungsgesetz.

Die Temperaturfunktion

Wenn wir nun noch die dadurch gegebene Differentialgleichung lösen erhalten wir die gesuchte Funktion für die Körpertemperatur des Luketauntauns:

\[T(t) = (T_0 – T_A) e^{-\frac{U A}{C} t} + T_A\]

Die meisten Größen kennen wir schon. Es ist $C=c (m_\text{Luke}+m_\text{Tauntaun})$ die Wärmekapazität des Luketauntauns,  $A$ die der Umwelt zugewandte Oberfläche des Tauntauns und $U$ der U-Wert dieses Systems. Dieser hängt ab von der Isolationsschichtdicke $d$, ihrer Wärmeleitfähigkeit $\lambda$ und der Wärmeübergangskoeffizienten an der Innen und Außenseite der Fettschicht. In der ausklappbaren Box ist die komplette Formel und etwas mehr Erklärung zu finden.

[expand title = „Der U-Wert des Luketauntauns“]

Der U-Wert ist eine Größe welche angibt, wieviel Wärme pro Sekunde pro Fläche ausgetauscht wird. Um so größer die Fläche ist, die einen Körper von seiner Umwelt abgrenzt, um so mehr Wärme kann durch diese transportiert werden.

\[U=\frac{1}{\frac{1}{\alpha_\text{Luft}} + \frac{d}{\lambda} + \frac{1}{\alpha_\text{Wasser}} }\]

Natürlich hängt dies auch noch von anderen Faktoren ab – den Wärmeübergangskoeffizienten auf der Innen- und Außenseite zum Beispiel. Diese sind um so höher je besser dort Wärme ausgetauscht werden kann (Wasser kann dies besser als Luft). In unserem Fall haben wir auf der Außenseite strömende Luft, also $\alpha_\text{Luft}=3+3v_W\;\text{W/m}^2\text{K}$ und auf der anderen ein Gemisch aus Blut und Körperflüssigkeiten welches wir als ruhendem Wasser ähnlich beschreiben. Daher $\alpha_\text{Wasser}\approx 500\;\text{W/m}^2\text{K}$.

Was aber auch noch Einfluss hat ist die Zusammensetzung der Isolationsschicht! Natürlich geht weniger Wärme verloren wenn diese aus thermisch isolierendem Material ist, also zum Beispiel Fett. Im Vergleich dazu ginge mehr Wärme verloren wenn die Schicht aus sehr gut wärmeleitendem Kupfer bestünde. Auch spielt die Dicke $d$ eine Rolle – eine 1m dicke Schicht isoliert sehr gut, während eine papierdünne sehr hohe Wärmeverluste bedeutet.

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[expand title = „Überprüfen des Modells“]

Überprüfen des Modelles

Nun haben wir einiges hergeleitet, einige Gleichungen hingeschrieben und können berechtigterweise fragen: „Ja beschreibt das jetzt wirklich das was passiert?“. Grundsätzlich ist das Newton’sche Abkühlungsgesetz in seinem Gültigkeitsbereich (solange Wärmeabstrahlung keine zu großen Verluste verursacht) sehr gut bestätigt. Im Fall von Luke und dem Tauntaun ist es aber sicher nur näherungsweise anwendbar – wir haben doch sehr vereinfacht – aber es sollte innerhalb eines gewissen Zeitraums verwendbare Vorhersagen liefern. Viele Parameter haben wir nach bestem Wissen und Gewissen abgeschätzt. Ein paar Fehler werden sich addieren, ein paar werden sich wegheben. Aber um sicher zu gehen überlegen wir uns im Ergebnisteil nachher ein Szenario für den schlechtesten und den besten Fall für Luke.

Jetzt wollen wir aber unser Modell erstmal überprüfen. Ich hatte noch ein paar Messdaten einer Isolationsbox auf meiner Festplatte herumliegen. Dabei wurden ca. 4.1l Wasser in einzelne 100ml Fläschchen gefüllt, auf 35°C erwärmt, in eine Styropor-Isolationsbox gestellt, und diese dann in einem Kühlraum bei -15°C gelassen. Ein Messgerät hat die Temperatur des Wassers aufgezeichnet. Eigentlich eine ganz gute Messreihe um unser Modell zu testen!

Mit den angegebenen Informationen können wir den U-Wert und $C$ berechnen und das Ergebniss der Temperaturfunktion für verschiedene Zeitpunkte plotten und mit der Messung vergleichen:

Das sieht ja ganz gut aus! Am Anfang liegen wir etwa ein Grad daneben, nach zehn Stunden immer noch weniger als 5°C. Für den Fall von Luke und Tauntaun sind wir aber ohnehin nur an Zeiträumen von bis zu 2 Stunden interessiert.

Trotzdem können wir kurz überlegen weshalb wir Abweichungen feststellen. Zum einen gilt eine von uns getroffene Voraussetzung in diesem Fall nicht – denn in einem Kühlraum geht normalerweise nicht wirklich viel Wind. Daher ist wahrscheinlich der Wärmeverlust durch Strahlungsabgabe in diesem Fall nicht vernachlässigbar. Größeren Einfluss hat möglicherweise noch der Umstand, dass die Kiste Ecken hat. Unsere idealisierten Gleichungen gehen alle davon aus, dass wir es mit unendlich ausgedehnten Platten zu tun haben – auch das führt natürlich zu Abweichungen. In einer Ecke befindet man sich – im Vergleich zur Wandmitte – an drei Seiten nahe der Außenseite während es in der Wandmitte nur eine ist. Wärme geht hier also leichter verloren. Zusätzlich ist auch die Kühlraumtemperatur selbst nicht konstant bei $-15\;^o\text{C}$ sondern Schwankungen unterworfen. Diese kommend durch „stoßweises“ Kühlen zustande: Übersteigt die Temperatur im Kühlraum einen gewissen Wert springt die Kühlung an und läuft solange bis eine tiefere Temperatur erreicht wurde. Dann schaltet sie sich weider ab. Zu Beginn der Messung ist der Kühlraum außerdem deutlich wärmer als zu späteren Zeitpunkten – immerhin war die Tür für zumindest kurze Zeit geöffnet um die Box hineinzubringen und den Messaufbau vorzunehmen. Dies sind alles Faktoren die den Abkühlprozess beeinflussen. Tatsächlich könnten wir diese auch mitberücksichtigen! Aber für die ersten vier Stunden sind wir – selbst mit allen getroffenen Vereinfachungen – mit dem Ergebnis zufrieden.

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Ergebnisse

Um ein paar Zeiten zu berechnen variieren wir unsere Parameter und sehen, was sich ergibt. Dabei unterscheiden wir zwei Fälle – den schlimmsten und den besten Fall. Grundsätzlich rechnen wir aber ohnehin eher mit einer für Luke schwierigeren Situation – denn Tauntauns haben ja offensichtlich ein recht dichtes Fell. In unseren Gleichungen kommt das allerdings nicht vor. Der Effekt den wir dadurch erwarten ist, dass die Schichtdicken die wir berechnen dicker sind als sie eigentlich sein müssten um Lukes Überleben zu sichern.

Der schlimmste Fall

Hier wählen wir einige Parameter bei denen wir uns nicht ganz sicher sind so wie sie am schlechtesten für Lukes Überleben wären. Wir gehen also davon aus, dass das Tauntaun bereits etwas ausgekühlt ist nachdem es verstorben ist und Luke leicht unterkühlt ist als Han ihn findet. Wir starten also bei $T_0=35\;^o\text{C}$. Die Windgeschwindigkeit nehmen wir für diesen Fall mit $30\;\text{m/s}$ an. Außerdem gehen wir davon aus, dass Han für die Errichtung und Bereitmachung des Iglos zumindest 2 Stunden benötigt. Vielleicht sinkt die Umgebungstemperatur ja auch noch stark während es Nacht wird, nehmen wir also auch $T_A=-80\;^o\text{C}$ an. Natürlich können wir uns auch bei der Masse des Tauntauns verschätzt haben, eventuell sind diese leichter als schwere Reitpferde? Daher setzen wir für den schlimmsten Fall auch $m_\text{Tauntaun}=450\;\text{kg}$.

Jetzt berechnen wir für verschiedene Fettschichtdicken den Temperaturverlauf.

In der vorigen Abbildung sind einige Kurven eingezeichnet, jeweils mit der Beschriftung für welche Dicke der Fettschicht gerechnet wurde. Es gilt: Je gelber desto besser für Luke. Um so länger seine Körpertemperatur über $28\;^o\text{C}$ verbleibt desto besser seine Überlebenschancen. Wir stellen für den schlimmst angenommenen Fall also fest:

Wenn die Fettschicht des Tauntauns zumindest $7\;\text{cm}$ dick ist erleidet Luke keine Hypothermie während Han das Notquartier aufbaut. Allerdings steht er knapp davor und ein bisschen Sicherheit wäre nicht schlecht. Bei $8\;\text{cm}$ Schichtdicke hätte Luke immerhin noch eine Körpertemperatur von ca. $29\;^o\text{C}$ – noch immer sehr niedrig aber doch schon mit besseren Überlebenschancen verbunden.

Das Ergebnis für den schlimmsten Fall ist also: Ab einer Fettschichtdicke von $8\;\text{cm}$ besteht für Luke die Chance die Nacht zu überleben.

Der beste Fall

Wir gehen vor wie beim schlimmsten Fall – nur wählen wir jetzt die Parameter so wie sie für Lukes Überleben günstiger sind. Das heißt $T_A=-60\;^o\text{C}$, $T_0=37\;^o\text{C}$, $v_W=20\;\text{m/s}$, $m_\text{Tauntaun}=550\;\text{kg}$ und die Iglobauzeit beträgt nur $60\;\text{min}$.

Die Wahl der Parameter begünstigt Luke’s Chancen nicht unbeträchtlich – nun reicht bereits eine Fettschichtdicke von $2\;\text{cm}$ um sein Überleben zu sichern.

[expand title=“Notiz – Temperaturfunktion“]

Natürlich könnten wir die Temperaturfunktion auch einfach dahingehend umformen, dass wir aus den Eckdaten direkt die notwendige Schichtdicke berechnen können. Ich fand es aber einfach netter ein paar Kurven zu plotten. Die Schichtdickefunktion ist:

\[ d=- \lambda \left[ t_\text{Bauzeit} \left(C \ln{\left(\frac{T_\text{hypothermie}-T_A}{T_0-T_A}\right)}\right)^{-1}-\left(\frac{1}{\alpha_\text{Luft}}+\frac{1}{\alpha_\text{Wasser}}\right)\right]\]

Sieht vielleicht etwas kompliziert aus, aber eigentlich muss man nur die Werte einsetzen. Außerdem kann direkt abgelesen werden, welche Paramter die zum Überleben nötige Schichtdicke in welche Richtung beeinflussen! Zum Beispiel ist direkt ersichtlich, dass ein großes $\lambda$ ungünstig ist (weil es die Schichtdicke erhöht). Aber woran sieht man das? Wirft man einen Blick auf die Gleichung sieht man, dass $\lambda$ alles innerhalb der eckigen Klammer multipliziert. Wird $\lambda$ also erhöht wächst das Ergebnis insgesamt an!

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Resümee

Nach allen Vorarbeiten können wir sagen, dass Luke’s Chancen dann gut stehen wenn das Tauntaun eine isolierende Fettschicht besitzt die zwischen $2\;\text{cm}$ und $8\;\text{cm}$ dick ist!

Immer wenn man ein Ergebnis vor sich hat lohnt es sich zunächst mal darüber nachzudenken und zu überlegen ob es sinnvoll oder realistisch ist. In unserem Fall können wir wieder mit irdischen Lebewesen vergleichen die (wie die Tauntauns) in ihrer natürlichen Umgebung ähnlich extremen Bedingungen ausgesetzt sind. Ein Eisbär zum Beispiel. Und siehe da, diese können Fettschichten besitzen die bis zu $8.6\;\text{cm}$ dick sind!

Ein weiterer Grund für Luke’s Überleben ist auch die große Masse des Tauntauns. Dieses ist mindestens 6 mal so schwer die Luke und besteht unter anderem aus sehr gut Wärme speicherndem, wasserhaltigem Gewebe. So viel Wärme abzuführen dauert einfach seine Zeit!

Natürlich haben wir ein paar Vereinfachungen gemacht: Da wäre zum Beispiel die Vernachlässigung des Wärmetransfers in den Boden. Auch haben wir unter anderem die Schnittwunde am Tauntaunbauch nicht berücksichtigt – durch diese wird ebenfalls Wärme verloren gehen. Aber wir gehen davon aus, dass Han diese so gut wie möglich abgeschirmt oder verschlossen hat. Luke’s Körper produziert ebenfalls etwas Wärme, allerdings fällt diese im Vergleich zu den Wärmeströmen die Verluste verursachen sehr gering aus.

Alles in allem hat Luke also tatsächlich gute Chancen zu überleben ohne eine schwere Hypothermie zu erleiden. Auf zusätzliche Probleme die sich daraus ergeben könnten, dass man ein paar Stunden in den Innereien eines anderen Lebewesens verbringt (Atemluft, Infektionen, etc.) möchte ich an dieser Stelle nicht eingehen.

Übrigens sind unsere Ergebnisse auch konsistent mit den Ergebnissen der Mythbusters Folge! Wählen wir die Parameter so wie in der Episode angegeben kommen wir mit einer Fettschicht von ca. $2\;\text{cm}$ nach $2.5\;\text{h}$ auf eine Temperatur von $33^o\;\text{C}$.

Konklusion: Die Annahme, dass Luke überlebt führt nicht zu unrealistischen Eigenschaften des Tauntauns! Die berechnete Fettschichtdicke ist durchaus möglich wie sich bei einem Vergleich mit irdischen Lebewesen (der Eisbär!) zeigt.

Danksagung

Abschließend noch ein Dankeschön an Julia Gingras für ihre Illustrationen – wenn ihr mehr von ihren Arbeiten sehen wollt – ihre Homepage ist der richtige Ort dafür.

Literatur

J.R. Turnpenny et. al., 2000, Thermal balance of livestock: 1. A parsimonious model. Agricultural and Forest Meteorology, Vol. 101, 1, pp15–27

K. Giering, 1995, Determination of the specific heat capacity of healthy and tumorous human tissue, Thermochimica Acta, Vol. 251, pp199-205.

A.N. Takata et. al., 1977, Laser-induced thermal damage of skin, USAF school of aerospace medicine.

P.E. Watson et. al., 1980, Total body water volumes for adult males and females estimated from simple anthropometric measurements, The American Journal of Clinical Nutrition, Vol. 33, pp27-39.

C.T. O’Sullivan, 1990, Netwon’s law of cooling – A critical assessment, American Journal of Physics, Vol. 10, pp956-960

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